Что такое тангенс?
В тригонометрии существует несколько основных (базовых) понятий, которые проходятся в средней школе и выносятся на ЕГЭ. В их число входит тангенс.
Определение функции.
В учебниках дается точное определение термина «тангенс», только к нему добавляется загадочное «угла х». Итак, тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Например, tgx = а/b.
Чтобы разобраться с определением, необходимо вернуться к истокам тригонометрии и нарисовать угол.
Для этого нарисуем треугольник с прямым углом, стороны которого, прилегающие к углу в 90 градусов – т.е. катеты, назовем «а» и «b», а гипотенузу – «с».
Соотношение противолежащего (короткого) катета к прилежащему (длинному) будет равно: а/b. В цифровых значениях это может быть 3/4 или 4/5.
Интересно, что, если продлить длину сторон прямоугольного треугольника, сохранив значение острого угла, то размер (величина) сторон, конечно, поменяется (это будут уже не «а», «b», и «с», а «l», «m», «n»). Но соотношения между сторонами останется прежним.
Например, отношение «а» к «b» было равным 3/4, после удлинения сторон соотношение m/n стало равно 6/8. Но 6/8 = 3/4.
Заметив эту интересную закономерность, древние вывели правило: соотношения сторон треугольника с прямым углом не зависят от длин его сторон, если не меняется острый угол.
При чем тут угол?
В определении понятия «тангенс» обязательно есть часть «угла». Зачем, если речь идет о соотношении сторон прямоугольного треугольника?
Отвечаем: если изменить острый угол прямоугольного треугольника, например, с 25 градусов, на 30, то все соотношения поменяются вместе с ним.
Если ранее дальний катет к прилежащему мы обозначали через 3/4, то новое соотношение будет равно уже иным значениям. Например, 6/4.
Отсюда вывод: соотношения между сторонами не зависят от их длины, но зависят от величины острого угла.
Интересно, что у каждого угла в прямоугольном треугольнике есть свои значения тангенса, так же как синуса, косинуса, котангенса.
Поэтому если в задаче на ЕГЭ Вам дан размер угла, то это автоматически означает, что значения его тригонометрических функций Вам уже известны. Также по значению тангенса или иной функции можно найти угол.
Таблицы Брадиса.
Разумеется, обычному человеку не под силу запомнить все значения тригонометрических функций. Для того чтобы облегчить жизнь математиков эти значения были сведены в специальные тригонометрические таблицы. В них для каждого возможного угла в прямоугольном треугольнике прописаны его тригонометрические функции.
Такие таблицы имеют название «Таблицы Брадиса». Они были составлены без применения калькуляторов и помогали ученым в расчетах.
В школьной программе обычно требуется запомнить наизусть значение функций для нескольких углов:
- 60,
- 30,
- 45 градусов.