Тождество — суть математического понятия и отличия от равенства

Тождество — математическая тема, которая кажется очень простой, но на деле нередко вызывает затруднения. Дело в том, что понятие тождественности очень тесно связано с понятием равенства и отчасти с ним пересекается. Однако тождество и равенство вовсе не аналогичны друг другу — и бывает трудно уловить, где одно, а где другое.

Чтобы понять разницу, для начала необходимо разобраться в терминологии.

Тождество и его отличия от равенства

Учебники определяют тождество так — этим словом называют выражения со знаком равенства, которые остаются верны, какие бы значения ни принимали переменные. Иными словами, тождество глобально и постоянно.

Из определения следует несколько важных моментов.

• Любое тождество одновременно является и равенством в частном случае — поскольку его члены всегда равны между собой.
• Любое равенство, состоящее только из чисел, одновременно является тождеством — поскольку числа ни при каких условиях не перестанут быть равны.
• При этом равенство, содержащее не только числа, но и переменные, вовсе не обязательно окажется тождеством. Ведь переменные могут принимать разные значения — и при каких-то из них принцип равенства сохранится, а при других окажется нарушен. Если нарушение равенства теоретически возможно, то тождеством данное выражение уже не является.

Приведем несколько примеров.

• Числовая запись «3 = 3» является и тождеством, и равенством одновременно. Число «3» будет равно самому себе и в частном, и в глобальном случае — не существует условий, при которых такое утверждение стало бы неверным.
• Числовая запись «3 + 3 = 6» также будет являться одновременно равенством и тождеством. В сумме два числа «3» всегда дадут «6». То же самое касается более сложных выражений, например «3 + 5 = 8». Здесь можно переставить местами слагаемые — «5 + 3 = 8». Равенство все равно сохранится — а значит, и останутся основания утверждать, что выражения тождественны.
• А вот запись с переменными, например, а + 2с = с + 2а, тождественной уже не будет. Дело в том, что можно подобрать определенные значения для «а» и «с», при которых приведенное равенство будет верным. Но при других значениях равенство нарушится — и это будет противоречить принципу тождественности.

В математике существуют простые и довольно сложные тождества. Но приведенные определения и правила едины для всех них. Что касается алгебраической записи, то знак тождества очень похож на значок «равно», или «=». Но состоит он не из двух, а из трех горизонтальных черточек.