Рациональные числа и основные свойства действий с ними
Математика делит числа и обозначения на множество групп, пересекающихся между собой и совершенно независимых, и предлагает методы упрощения любой задачи. Сюда входит возможность перестановки членов в числовом выражении, замена знаков и многое другое.
Правила, по которым можно обращаться с рациональными числами, называются свойствами действий с этими числами. Рассмотрим поподробнее, что необходимо знать об этой группе чисел.
Какие правила работают при арифметических действиях с рациональными числами?
Чтобы упражнения и задачи не вызывали трудностей, достаточно запомнить несколько утверждений.
- При сложении рациональных чисел неважно, в каком порядке идут члены выражения. Иными словами, а + с = с + а — для удобства мы можем перемещать числа и во всех случаях получать верный ответ. И называется такое свойство соответственно — переместительным.
- Из него прямо выходит другое свойство — сочетательное. Выглядит на примере оно так: (a + b) + z = a + (b + z). Мы можем переносить скобки, если по какой-то причине нам удобнее изменить порядок сложения.
- Совершенно аналогичные свойства действий распространяются на процесс умножения. Здесь также существует переместительное свойство, при котором a*z = z*a, и сочетательное, при котором (a*b)*z = a*(b*z).
- Еще одно свойство под названием распределительное объединяет сложение и умножение. Если нам нужно умножить некое число на сумму двух других чисел, то мы можем поочередно умножить это число на каждое из слагаемых — а затем сложить полученные произведения. В числовой записи это выглядит так: z*(a + b) = z*a + z*b.
Необходимо также упомянуть о свойствах, касающихся числа нуль. Нуль, прибавленный к любому рациональному числу, никак не изменяет это число. Но зато нуль, умноженный на число, дает нам в ответе только нуль. Иными словами, если а + 0 = а, то а*0 = 0.
А вот при умножении на единицу число всегда остается неизменным — а*1 = а.
Также необходимо помнить о свойстве, касающемся противоположных чисел. Оно гласит, что любое рациональное число имеет одно число с обратным знаком, которое ему противоположно — например, а и –а. Сложение двух таких чисел всегда дает в ответе нуль.
Перечисленные свойства — самые важные при действиях с рациональными числами. Существуют и другие — например, касающиеся вычитания и деления чисел. Однако они выводятся по аналогичным принципам из свойств сложения и умножения.